In origine c'è la geometria del piano teorizzata da quel genio della matematica antica conosciuto col nome di Euclide. Per secoli la sua rimane l'unica concezione dello spazio ritenuta valida, quasi un dogma per generazioni di scienziati che si cimentano negli studi matematici: ma le certezze euclidee cominciano a vacillare insieme alle nuove scoperte e all'inarrestabile progresso della scienza. Si capisce dunque che non bastano cinque postulati a spiegare l'intero universo fisico, occorrono nuovi strumenti, nuove figure e nuove misure spaziali.
Le premesse della geometria iperbolica inizialmente si intrecciano con il problema del quinto postulato, enunciato da Euclide ma mai del tutto dimostrato. Il postulato in questione sostiene che, in un punto fuori da una retta, passa una e una sola parallela alla retta data, ovvero la perpendicolare alla perpendicolare, mentre ogni altra retta d’angolatura differente incontrerà prima o poi la retta iniziale.
Nel Medioevo, il poeta e matematico persiano Omar Khayyām, nel tentativo di dimostrare questo principio, inconsapevolmente rivela alcune proprietà geometriche che non rientrano nelle definizioni di Euclide.
In un equivoco analogo incorre Gerolamo Saccheri, vissuto a cavallo fra Seicento e Settecento: mosso da un’assoluta fiducia nella geometria di Euclide, il matematico italiano tenta di sgombrare il campo da qualsiasi dubbio sull’esattezza del quinto postulato. Saccheri ricorre a un particolare procedimento logico: la dimostrazione per assurdo. Lo studioso assume come vere le obiezioni a Euclide, descrive i possibili teoremi di una geometria non euclidea, convinto di svelarne le contraddizioni.
In realtà il suo metodo ottiene l’effetto contrario, portando alla scoperta di alcuni principi fondamentali delle geometrie alternative: per esempio, l’esistenza di figure la cui somma degli angoli interni è maggiore o minore di centottanta gradi.
Le ricerche sulla geometria iperbolica prenderanno una direzione autonoma nell’Ottocento, innanzitutto grazie agli esperimenti del “principe dei matematici”, il tedesco Gauss. A partire dalla negazione del famoso postulato euclideo, Gauss intravede la possibilità di fondare una nuova geometria; e arriva perfino a considerare quella euclidea del piano come un tipo specifico di geometria non euclidea, basata su una sfera immaginaria con raggio infinito.
I padri riconosciuti della geometria iperbolica sono però considerati il russo Lobačèvskij e l’ungherese Bolyài, che, verso la metà dell'Ottocento, giungono in maniera indipendente alle medesime conclusioni. Entrambi infatti comprendono che è necessario superare la concezione delle rette parallele euclidee, elaborando una geometria rivoluzionaria, nella quale esistono superfici concave, figure che ammettono rette parallele diverse che passano per lo stesso punto. Saranno gli studiosi successivi, come Riemann o Beltrami, a sviluppare queste intuizioni, offrendo un quadro teorico compiuto: la geometria iperbolica è ora pronta a entrare nella storia della matematica.
